Usain Bolt repäisi vuoden 2008 kesäolympialaisissa Beijingissä ja MM-kisoissa Berliinissä 2009. Molemmat kisat on analysoitu tarkkaan, ja niistä lyhyt tiivistelmä alla.
Kesäkuussa 1960 Zürichissä saksalainen Armin Harry juoksi ensimmäistä kertaa satasen kymmeneen sekuntiin. Vuonna -68 Jim Hines alitti haamurajan käyttämällä 9,9 sekuntia sadan metrin suoraan. Carl Lewiksen ennätys vuodelta 1991 paransi aikaa 0,14 sekuntia (9,86 s). Usain Bolt kirpaisi nykyisen maailmanennätyksen 9,58 s Berliinissä 2009.
Katso Wikipediasta lisää historiaa:
https://en.wikipedia.org/wiki/Men%27s_100_metres_world_record_progression
Usain Bolt -dataa, joka selvitetään alempana:
- 1,95 m pitkä
- 94 kg (josta paino 842,8 N)
- 12,15 m/s keskinopeus loppumatkasta
- 9,5 m/s$^2$ alkukiihdytys (0.97g)
- 815,8 N keskimääräinen työntövoima 100m pinkaisussa (vrt. paino)
- 2620 W huipputeho lähdössä (nopeus 6,24 m/s)
- 6,36 kJ juoksuun kulutettu energia
- 8% energiasta liikkumiseen; loput ilmanvastukseen
Berliinin Biomekaniikkaprojekti mittasi 100m finaalin väliajat 10 m:n välein sekä nopeuden poliisienkin käyttämällä laser- (LAVEG)-mittauksella. Data löytyy osoitteesta
Lasertutka (Doppler-) antaa sinisen käyrän, jossa on hieman vaihtelua. Samasta paperista löytyy 10 metrin väliajat taulukkomuodossa.
Boltin nopeusfunktio
Käytännössä oikeaa pikajuoksun nopeusmallia ei ole olemassa, siksi siihen sovitetaan jokin kohtuullisen oikean näköinen käyrä. Vihjettä saadaan Newtonin II laista, joka sanoo, että
$\sum F = ma = m \frac{\d v}{\d t}$ eli
$m \frac{\d v}{\d t} = F_0 – \alpha v$
ja voimien summa $\sum F$ on työntövoima $F_0$ ja ilmanvastus $\alpha v$. Oikeasti ilmanvastus ei ole suoraan verrannollinen nopeuteen, koska se ei ole laminaarista, vaan turbulenttista. Turbulenttinen ilmanvastus on muotoa $\alpha v^2$.
Laminaariselle ilmanvastukselle ($\alpha v$) voidaan Newtonin II laista ratkaista nopeus tavallisin menetelmin. Se on
$v(t) = \frac{F_0}{\alpha}(1 – e^{-\alpha t /m})$,
kunhan työntövoima $F_0$ on vakio. Ilmanvastuskerroin $\alpha$ voidaan olettaa vakioksi ongelmitta. Ylläolevaa tulosta ei ole juuri käytetty, vaan jotain, mikä muistuttaa tuota. Helene ja kaverit käyttävät muotoa
$v(t) = \left( \frac{F_0}\alpha + \frac{m\beta}{\alpha^2}\right) \left( 1 – e^{-\alpha t/m}\right) – \frac{\beta t}{\alpha}$.
Ilmanvastus oletetaan yhä laminaariseksi. Yhtälössä näkyvät parametrit $F_0/\alpha+m\beta/\alpha^2$, $\alpha /m$ ja $\beta/\alpha$ ratkaistaan sovittamalla nopeusfunktio $v(t)$ yllä näkyvään punaiseen käyrään. Se onnistuu helpolla.
Ilmanvastus
Gomez & Gomez tarkensivat muutamaa vuotta myöhemmin mallifunktiotaan approksimoimalla ilmanvastusta. Ilmanvastus olkoon juoksunopeudesta $v$ riippuva funktio $D(v)$, jonka tarkka muoto on epäselvä. Sitä voidaan kuitenkin approksimoida, tällä kertaa Taylorin polynomilla. Siis
$D(v) \approx D(0) + \frac{\d D(v)}{\d t}\Big|_0 v +\frac12 \frac{\d^2 D(v)}{\d t^2}\Big|_0 v^2 + O(v^3)$
Tässä $O(v^3)$ on virhetermi. Selvästi
- Ensimmäiselle termille saadaan $D(0)=0$, koska ilmanvastusta ei ole levossa.
- Toinen termi, verrannollinen nopeuteen $v$ on laminaarinen vastus. Merkitään $\alpha v$
- Kolmas termi, verrannollinen nopeuden toiseen potenssiin $v^2$ on turbulentti-ilmiö, joka siis huomioi hydronaamiset ilmiöt. Merkitään $\beta v^ 2$
Siis Newtonin yhtälöksi saadaan
$m \frac{\d v}{\d t} = F_0 – \alpha v – \beta v^2$
eli lähes sama kuin ylläoleva. Tämä ratkeaa separoimalla eli
$\int_{t_0}^t \d t = m \int_{v_0}^v \frac{\d v'(t)}{ F_0 – \alpha v'(t) – \beta v'(t)^2} $
josta
$v(t) = \frac{AB( 1 – e^{-kt})}{A+Be^{-kt}}$
eli lähes samanmuotoinen funktio kuin yllä ollut. Vakiot ovat
- $\alpha = \frac{km(A-B)}{A+B}$
- $\beta = \frac{km}{A+B}$ ja
- $F_0 = \frac{kmAB}{2A+2B}$
Kiihtyvyys, nopeus ja paikka
Nopeuden aikaderivaatta on kiihtyvyys ja nopeuden integraali ajan suhteen on paikka. Ne tulevat Sympyllä heittämällä.
$a(t) = \frac{AB(A+B)k( 1 – e^{-kt})}{(A+Be^{-kt})^2}$
$v(t) = \frac{AB( 1 – e^{-kt})}{A+Be^{-kt}}$
$x(t) = \frac AB \ln \frac{A+Be^{-kt}}{A+B} + \frac BK \ln \frac{Ae^{kt} + B}{A+B}$
Juoksu eli datan sovitus
Sovitetaan finaalista mitattu aika–paikka-data ylläolevaan paikan $x(t)$ yhtälöön.
Myötätuuli (2009) vaikutti 0,1 sekuntia.
Videoanalyysi:
http://www.youtube.com/watch?v=SyY7RgNLCUk
joka on tehty Berliini 2009 Biomekaniikka-projektin avulla:
http://berlin.iaaf.org/news/kind=101/newsid=53084.html
The force, power and energy of the 100 meter sprint (Helene et al: 2010):
http://arxiv.org/abs/0911.1952
