John Napierin työstä vuodelta 1614 (alkujaan 1594?). Alkujaan juontaa alkunsa trigonometristen (astronomia-, navigaatio-) laskuissa ilmitulleiden vaikeiden kertolaskujen yksinkertaistamisessa.

Ensin Napier laski, mitä on $(1-10^{-7})^L$, jossa $L$ vaihtelee 1:stä 100:aan. Sitten hän kertoi nämä tulokset luvulla $10^7(1-10^{-5})^L$, jossa nyt $1 \leq L \leq 50$ . Kohtuullisia laskuja, kun ne tarkkaan käsin laskee, sillä niihin kului kaksikymmentä vuotta. Tuloksia tuli paljon, ja näistä taulukoista löytyi eksponentti $L$, melkein kaikille $N$:n arvoille ($5\leq N < 10^7$)

$ N = 10^7 ( 1 – 10^{-7} )^L $.

Napierin logaritmi oli “geometrisen muodon suhde”, eli ei aivan eksponentti, kuten nykyään.

Briggs oli ensimmäinen taulukon tekijä (Napierin jälkeen), vuonna 1617 heti Napierin keksinnön jälkeen. Taulukoista saa helpolla laskettua, esim

$cd = b^{\log_b c} b^{\log_b d} = b^{\log_b c +\log_b d}$, ja taulukosta tosiaan löytyvät luvut $\log_b c$ ja $\log_b c$, joten kertolaskua varten tarvitsee vain laskea logaritmien summa eli yhteenlasku.

 

Logaritmitaulukot olivat tärkeitä, ja työt levisit nopeasti. Pian lukua $L$ alettiin kutsua logaritmiksi. Pierre-Simon Laplace kehaisi, että logaritmitaulukot helpottivat kuukausien työn muutamaan päivään samalla pidentäen tähtitieteilijän elämää.

 

Tulokaava. Koska

$\sin \alpha \cos \beta = \tfrac12 \sin(\alpha+\beta) + \tfrac12 \sin(\alpha-\beta)$,

niin  esimerkiksi kertolasku $0.17365\times0.99027$ yksinkertaistuu taulukoilla muotoon

$ 0.17365\times0.99027 = \sin 10 \cos 8  = \tfrac12 (\sin18 + \sin2)$ ja taas taulukosta katsomalla viimeiset sinit, saadaan tulos $0.17196$. On se silti helpompi, kuin perinteinen kertolaskualgoritmi.

 

Napierin logaritmi.

Napier lähti tutkimaan geometrisia jonoja, $a^n$. Hän huomasi, että $a^m a^n = a^{m+n}$ ja $a^m/a^n = a^{m-n}$, mutta kokonaisluvut $m$ ovat liian harvassa, jotta menetelmää voisi soveltaa kätevästi. Hän halusi, että potenssi olisi kokonaisluku, jolloin kantaluku $a$ pitää valita läheltä ykköstä, jotta geometrinen jono ei karkaa käsistä.

 

Kantaluvuksi hän valitsi luvun $1 – 10^{-7} = 0.9999999$. Kuitenkin, välttääkseen desimaaleja, Napier kertoi jokaisen geometrisen jonon terminsä vielä luvulla $10^7$. Siis hän laski

$10^7( 1 – 10^{-7})^L$, jossa $L$ vaihteli 1:stä 100:aan. Eksponenttia $L$ kutsuttiin logaritmiksi.

 

Napierin alkuperäinen logaritmi ei ole aivan samanlainen, kuin nykyinen, sillä esim. jos

$L_1 = \log N_1$ ja

$L_2 = \log N_2$, niin

$N_1 = 10^7(1 – 10^{-7})^{L_1}$ ja $N_2 = 10^7(1 – 10^{-7})^{L_2}$, jolloin

$N_1 N_2 = 10^{7+7}(1 – 10^{-7})^{L_1 + L_2}$

 

 

 

Napierin tavoitteena oli kertoa sinejä yhteen. Kokonainen sini oli sivun pituus suorakulmaisessa kolmiossa, jonka hypoteenuusa oli valtava, esimerkiksi $10^7$ yksikköä.

 

Briggs. Ehdotti kymmenkantaista logaritmia, ja samalla $\log 1 = 0$ ja $\log 10=0$. Briggs laski laajan logaritmitaulukon logaritmien laskusäännöillä 14 desimaalin tarkkuudella.

 

Laskutikku.