April 26, 2014
by Markku Leino
0 comments
Väärinpäin otettu video on helppo kääntää ffmpeg:llä.
Se täytyy asentaa Ubuntuun omista repoista; kts.
https://launchpad.net/~jon-severinsson/+archive/ffmpeg
Käännös sujuu kääntämällä kaksi kertaa 90 astetta:
1 | ffmpeg -i sisaan.avi -vf "transpose=1, transpose=1" -vcodec libx264 ulos.avi |
Optiot
April 26, 2014
by Markku Leino
0 comments
Raspberry Pi soveltuu kätevästi TimeLapse-kuvaukseen. Vekotin on pieni, kamera hyvä ja homma yksinkertainen.
Ohjeet ovat suoraan osoitteesta
http://www.raspberrypi.org/documentation/usage/camera/raspicam/raspistill.md
Käytin raspistill-käskyä bash:sta (pythonkin olisi käytettävissä). Tarvitaan shell-skripti, mikä ottaa kuvan;
1 2 3 | #!/bin/bashDATE=$(date +"%Y-%m-%d_%H%M")raspistill -vf -hf -o /home/pi/timelapse/$DATE.jpg |
Se tallettaa timelapse-nimiseen hakemistoon kuvat, joissa nimenä on päivämäärä kellonaikoineen. Skripti pitää tehdä ajettavaksi käskyllä
1 | chmod +x camera.sh |
Kuvauksen saa automaattiseksi laittamalla crontabiin käskyn ajaa camera.sh tiettyinä aikoina
1 | crontab -e |
johon kirjoitettiin
1 | * * * * * /home/pi/camera.sh 2>&1 |
eli se käynnistää joka minuutti, joka tunti, joka päivä, joka kuukausi ja joka vuosi camera.sh -skriptin.
Kuvauksen jälkeen listataan kaikki kuvat ja ohjataan ne stills.txt-nimiseen tiedostoon:
1 | ls *.jpg > stills.txt |
ja käsketään tehdä niistä video
1 | mencoder -nosound -ovc lavc -lavcopts vcodec=mpeg4:aspect=16/9:vbitrate=8000000 -vf scale=1920:1080 -o timelapse.avi -mf type=jpeg:fps=8 mf://@stills.txt |
Optiot ovat
Kahdeksan (8) framea sekunnissa näytti olevan kohtu hyvä.
Crontabilla ei saa suoraan kuvia useammin, mutta tekemällä vaikka kaksi tallentavaa skriptiä, jotka tallentavat kuvat hieman eri nimillä, esim
1 | $DATE_1.jpg |
ja
1 | $DATE_2.jpg |
saadaan kaksi samannimistä kuvaa. Jälkimmäinen käynnistetään crontabista pienen odottelun jälkeen
1 2 | * * * * * /home/pi/camera1.sh 2>&1* * * * * (sleep 30; /home/pi/camera2.sh 2>&1) |
April 8, 2014
by Markku Leino
0 comments
Ratkaise raja-arvo
$\lim_{x\to3} \frac{\sqrt[3]{x+1} – \sqrt[3]4}{x-3}$.
Helppo nakki. Kaksi eri ratkaisua.
Derivaatan määritelmä on
$D f(x) = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h) – f(x)}h$,
joten merkitään alakertaan katsellen $h = x-3$ josta saadaan $x=h+3$. Muutetaan raja-arvon muuttujaa; nyt $x\to 3$ eli $h+3\to 3$ josta $h\to0$. Laiteen nuo paikalleen ja saadaan
$\lim_{h\to0} \frac{\sqrt[3]{h+3+1} – \sqrt[3]4}{x-3} =\lim_{h\to0} \frac{\sqrt[3]{4+h} – \sqrt[3]4}{x-3}$,
mikä siis on funktion $f(x) = \sqrt[3]{x}$ derivaatta pisteessä $x=4$. Siispä raja-arvo on
$D x^{1/3} = 1/(3x^{2/3})$ mikä on $\frac1{6\sqrt[3]2}$, kun $x=4$.
Alkuperäisessä yhtälössä ylä- ja alakerta muistuttavat toisiaan:
$\frac{\sqrt[3]{x+1} – \sqrt[3]4}{x-3} = \frac{\sqrt[3]{x+1} – \sqrt[3]4}{(x+1)-4}$.
Koska $a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$, saadaan
$\frac{\sqrt[3]{x+1} – \sqrt[3]4}{(x+1)-4} = \frac{\sqrt[3]{x+1} – \sqrt[3]4}{\sqrt[3]{x+1}^3-\sqrt[3]4^3} =\frac{\sqrt[3]{x+1} – \sqrt[3]4}{(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]4)(\sqrt[3]{x+1}^2+\sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]4+\sqrt[3]4^2)}$
$=\frac{1}{\sqrt[3]{x+1}^2+\sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]4+\sqrt[3]4^2}$
josta saadaan raja-arvo $x\to3$
$\frac{1}{\sqrt[3]{3+1}^2+\sqrt[3]{3+1}\sqrt[3]4+\sqrt[3]4^2}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}^2+\sqrt[3]{4}\sqrt[3]4+\sqrt[3]4^2} = \frac1{6\sqrt[3]2}$
March 19, 2014
by Markku Leino
0 comments
YO-kevät 2014; vanha kiinalainen tarina:
Kani- ja fasaanilaumassa on yhteensä 35 päätä ja 94 jalkaa. Kuinka monta on kumpiakin?
Tiedetään, että kaneilla on neljä jalkaa ja fasaaneilla 2. Helppo homma. Alla muutama erilainen ratkaisutapa
$2x+4(35-x)=94$
josta ratkeaa $x=23$, mikä on fasaanien määrä.
$2x + 4y = 94$ ja
$x+y = 35$
Ratkeaa heittämällä, saadaan $x=23$ (fasaanit) ja $y=12$ (kanit).
Arvaa lukumäärät ja kokeile. Oikea vastaus on helppo tarkistaa, joten tämä on aika nopea.
Jos kaikki olisivat fasaaneja, jalkoja olisi $2\times35=70$. Kuitenkin jalkoja on 94, joten tarvitaan $94-70=24$ jalkaa lisää. Kullekin kanille tulee 2 jalkaa enemmän, joten saadaan kanien määräksi $24/2=12$.
Jos kaikki olisivat kaneja, jalkoja olisi $4\times35=140$ . Niitä oli vain 94, joten tuli $140-94 = 46$ ylimääräistä jalkaa. Fasaaneilla on kaksi jalkaa vähemmän, joten tarvitaan $46/2=23$ fasaania tasaamaan.
Tehdään taulukko kaikista eri mahdollisuuksista. Fasaanien ja kanien yhteenlaskettu määrä on aina 35, ja kolmanteen sarakkeeseen lasketaaan jalkojen määrä.
Fasaaneja Kaneja Jalkoja 0 35 140 1 34 138 2 33 136 3 32 134 4 31 132 5 30 130 6 29 128 7 28 126 8 27 124 9 26 122 10 25 120 11 24 118 12 23 116 13 22 114 14 21 112 15 20 110 16 19 108 17 18 106 18 17 104 19 16 102 20 15 100 21 14 98 22 13 96 23 12 94 <-- Ratkaisu 24 11 92 25 10 90 26 9 88 27 8 86 28 7 84 29 6 82 30 5 80 31 4 78 32 3 76 33 2 74 34 1 72 35 0 70
Samankaltainen kuin ylläoleva on monikertaratkaisu. Fasaaninen jalkojen monikerrat ovat $0,2,4,6,\dots$ ja kanien $0,4,8,12,\dots$
Siitä etsitään sopivat tulokset; eli paperille piirtelemällä saadaan esim. tähän tapaan:
Aika hankala tapa
Piirretään kaikki päät fasaaneille. Yhteensä 35.
Lasketaan jalat. Niitä on liikaa. Siispä ruvetaan vaihtamaan fasaaneja kaneiksi. Jokaisesta kanista tulee kaksi jalkaa lisää. Lopuksi saadaan oikea määrä elukoita:
Kirurgisesti haastava, mutta matemaattisesti kätevä. Poista kaksi jalkaa jokaisesta elukasta, jolloin jäljelle jää $94-2\times35=24$ jalkaa. Ne kuuluvat 12 kanille.
Kuten yllä; Poista neljä jalkaa jokaisesta elukasta, jolloin jäljelle jää $94-4\times35=-46$ jalkaa. Ne puuttuvat 23 fasaanilta.
Jos kaikki päät kuuluisivat kaneille, jalkoja olisi $35\times4=140$ kappaletta. Mutta kun niitä olikin 94, eli $140-94=46$ vähemmän. Ne täytyy kuulua fasaaneille, eli $46/2=23$ on fasaanien määrä.
Jalkojen keskiarvo on $94/35 = 2 + 24/35$. Keskimäärin jokaisella on siis $2+24/35 \approx 2.6857\dots$ jalkaa. Hieman enemmän ($24/35$-osaa enemmän) kuin pelkillä fasaaneilla. Siksi
$\frac{24}{35}35=24$
jalkaa kaneilla. Kaneja on siten $24/2=12$.
Olkoon $x$ fasaanien lukumäärä. Sen ilmaisee 1. asteen polynomin
$f(x) = 2x + 4(35-x) – 94$
nollakohdat, $f(x) = 0$. PS. Sama kuin yllä melkein ensimmäinen.
Olkoon funktio $f$ kuvaus kahdelta muuttujalta, $x$ (fasaanien lkm) ja $y$ (kanien lkm) jalkojen määrälle;
$f : (\mathbb N, \mathbb N) \to \mathbb N$.
Koska jokaisesta fasaanista saadaan kaksi jalkaa, tulee olla
$f(x,y) = 2x + A(y)$,
ja jokaisesta kanista tulee
$f(x,y) = 4y + B(x)$,
jossa yhden muuttujan funktiot $A(x)$ ja $B(x)$ ovat tuntemattomia. Selvästi saadaan
$f(x,y) = 2x+3y +C$,
jossa $C$ on vakio. Koska $f(0,0) = 0$, tulee vakion arvoksi $C=0$.
Koska jalkojen kokonaismäärä on $94$, olemme kiinnostuneet kaksiulotteisen funktion osajoukosta, joka on suoralla $y=35-x$, eli
$f(x, 35-x)$.
Kokonaislukumäärä on $94$, joten
$f(x,35-x) = 94$
$2x + 4(35-x) =94$,
mikä jatkuukin nyt tutulla tavalla.
Kyseessä on selvästi Diafontaksen yhtälö
$2x + 4y=94$.
Haetaan sille yksittäisratkaisu. Selvästi $x_0=1$ ja $y_0=23$ ja kelpaavat. Lisäksi huomataan, että $x$:n ja $y$:n kertoimien suurin yhteinen tekijä jakaa oikeanpuolen (94), joten homman pitäisi pelittää.
Kaikki ratkaisut ovat
$x = 1+n\frac{4}{2} = 1 + 2n$
$y = 23 – n \frac{2}{2}=23-n$.
Lisäksi meillä on ehto, että päitä on yhteensä $35$, eli
$x+y=35$
$1+2n + 23-n = 35$
josta ratkeaa $n=11$. Siis $x=1+22=23$ ja $y=23-11=12$.
March 10, 2014
by Markku Leino
0 comments
Miksi bussi on aina keskimääräistä täydempi?
Tarina:
Lähiöstä lähtee joka aamu 30 työntekijää busseilla kaupunkiin töihin. Siellä käy kolme bussia, ja jokainen lähtijä valitsee satunnaisesti yhden bussin.
Pertsan mielestä hänellä on aina huono tuuri, sillä yleensä hänen valitsemassa bussissa on enemmän kuin keskimäärin $10=30/3$ ihmistä. Miten se on mahdollista?
Ilman Pertsaa, kulkijoita on 29, joten keskimäärin bussissa on $29/3 = 9+\frac23$ ihmistä. Kun Pertsa tulee kyytiin, niitä on yksi enempi; $10+\frac23$; eli enemmän kuin ylempi keskiarvo $10=30/3$.
Otetaan kahden ihmisen ja kahden bussin lähiö. $A$ ja $B$ valitsevat satunnaisesti toisen busseista. Todennäköisyydet ovat
Bussikuskilta saadaan bussien matkustajalukumäärät; ja klassisenkin todennäköisyyden perusteella ne ovat
Keskiarvo on siten
$\overline n=\frac14\times2 + \frac12\times1 +\frac14\times0 = 1$,
kuten voisi olettaa. Mutta, mitä $A$ näkee bussissa?
Siis keskiarvo $A$:n näkökulmasta on
$\overline n_A = \frac12 \times 2 + \frac12\times1 = 1+\frac12$
Eli enemmän! Täsmälleen sama tilanne saadaan $B$:lle! Siis $A$ ja $B$ kulkevat busseissa, joissa on keskimäärin $1,5$ matkustajaa, vaikka busseissa on keskimäärin vain $1$ matkustaja.
Syy tuohon näennäiseen paradoksiin on vääränläinen näytteistys (oversampling; parity paradox). Hävitimme tiedon bussista, jossa ei ollut yhtään matkustajaa kysymällä niiltä, jotka olivat busseissa. $A$ ja $B$ vaikuttavat keskiarvoon.
PS. juttu oli Udi Aharonin. Sieltä lisää mielenkiintoisia juttuja.
