Kondensaattori $C$
Kondensaattorin läpi ei kulje tasavirta, mutta smg-kenttä selviää, kuten on opiskeltu. Vaihtojännite $u(t)$ siis kulkeutuu kondensaattorin läpi. Yleisesti ottaen virta kondensaattorin läpi on suoraan verrannollinen jännitteen muutosnopeuteen, eli
$i = C \frac{dU}{dT}$.
Yksinkertainen C-virtapiiri on
Siinä kulkeva virta $i(t)$ on
$i(t) = C \frac{du}{dt} = C \frac{u_0\sin(2\pi ft + \phi_0)}{dt}$
$i(t) = Cu_0 2\pi f \cos(2\pi ft + \phi_0)$
Muutetaan kosini siniksi (muista matikka 9 -kurssista), saadaan
$i(t) = Cu_0 2\pi f \sin(2\pi ft + \phi_0 + \frac{\pi}2)$,
eli jännitteen ja virran välillä $\frac\pi2$ vaihe-ero. Virta $i(t)$ on edellä (koska $+$-merkki). Samalla nähdään, että jännitteen ja virran suhde on $\frac1{2\pi fC}$. Se on nimeltään reaktanssi, $X_C$:
$X_C = \frac1{2\pi f C}$
Käämi eli kela $L$
Käämissä muuttuva sähkövirta aiheuttaa mg-kentän, joka puolestaan Lenzin lain mukaisesti vastustaa virran muutosta, eli
$u(t) = L \frac{di}{dt}$.
Yksinkertainen $L$-virtapiiri on
Tässä käämin yli oleva jännite $u(t)$ on
$u(t) = L \frac{di}{dt} = L \frac{i_0 \sin(2\pi f t + \phi_0)}{dt}$
$u(t) = L i_0 2\pi f \sin(2\pi f t + \phi_0)$
Muutetaan taas kosini siniksi, saadaan
$u(t) = L i_0 2\pi f \sin(2\pi f t + \phi_0 + \frac\pi2)$
Eli jännitteen ja virran välillä taas $\pi/2$:n vaihe-ero. Nyt virta on jäljessä. Huomataan, että jännitteen ja virran suhde on $L2\pi f$, ja sitä kutsutaan reaktanssiksi $X_C$
$X_C = 2\pi f L$.
Ohmin laki
Ohmin laki $R = \frac UI$ pätee myös vaihtovirtapiireille. Resistanssin $R$ paikalle kirjoitetaan impedanssi $Z$, joka määritellään
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L – X_C)^2}$, jossa
vaihekulma $\phi = \arctan\left( \frac{X}{R} \right)$
Tämän perustelu on helppoa kompleksiluvuilla; reaktanssi $X = X_C – X_L$ on imaginaarinen ja resistanssi $R$ reaaliluku. Ne ovat kohtisuorassa toisiaan vasten (kompleksilukujen kurssi), joten pituus lasketaan Pythagoraan lauseella.
Teho vaihtovirtapiirissä; tehollinen arvo.
Hetkellinen teho on $p = u\cdot i$. Vastuksen yli $u = Ri$, eli saadaan $p = u\cdot i = R i^2$, kuten tasavirtapiirille.
Sinimuotoinen teho on kuvaajasta katsottuna tällainen:
Yllä sinimuotoinen virta, alla sen neliö. Aktiivinen lukija huomaa, että $p_0 = Ri_0^2$. Teho siis vaihtelee vaihtovirtapiirissä ollen välillä jopa nolla. Keskimääräinen (ns. lämmittävä) teho saadaan integroimalla eli laskemalla vihreän käyrän alla oleva pinta-ala (ruskea) $A$ ajanhetkestä $0$ hetkeen $T=1/f $ [miksi?] jaettuna välin pituudella. Integrointi on helppo;
$ p_t = \frac AT = \frac1T \int_0^T p(t) $
$ p_t = \frac1T \int_0^T p(t) R (i_0 \sin(2\pi f t + \phi_0) )^ 2 dt$
Integroimalla ja sijoittamalla $T = 1/f$ paikalleen, saadaan
$p_t = \frac{R i_0^2}2= R \left( \frac{ i_0}{\sqrt2}\right)^2 $.
Siispä keskimääräistä tehoa vastaava keskimääräinen virta on $i_0/\sqrt2$, eli huippuarvo alle neliöjuuri kaksi. Sitä kutsutaan teholliseksi arvoksi.
Se vastaa siis suorakulmion, jonka pinta-ala on sama kuin sinikäyrän, korkeutta. Kuvassa katkoviivoitettu harmahtava laatikko.
Sama käsittely voidaan tehdä jännitteelle aivan vastaavasti. Siitä saadaan jännitteen teholliseksi arvoksi $i_t = i_0/\sqrt2$. Täysin vastaavasti.
Tehollinen teho on virran ja jännitteen huippuarvoista laskettuna
$P_t = u\cdot i = \frac{u_0 i_0}{\sqrt2 \sqrt2} = \frac{u_0 i_0}{2}$.
Näennäisteho, $S$
Yksikkö VA, volttiampeeri. Sisältää kompleksisessa mielessä pätö- ja loistehon. Siitä ei paljoa enempää.
Pätöteho, $P$
Yksikkö W, watti. Pätöteho kuluu piirissä.
Loisteho, $Q$
Yksikkö Var, vari. Loisteho ei kulu, “heilahtelee” edestakaisin. Yksinkertainen käsittely vaatii kompleksiaritmetiikan hallintaa.
Loistehoa aiheuttaa omgelmaa sähkönjakelussa, koska verkosta ei saada kaikkea mahdollista tehoa ulos; virta kasvaa liikaa. Suurasiakkaat joutuvat maksamaan loistehosta. Heillä on isoja sähkömoottoreita (käämejä), jotka “ottavat” loistehoa. Loisteho pyritään kompensoimaan, yleensä rinnakkaiskondensaattoreilla.
Tehokerroin
Tehokerroin $\cos\phi$ on pätötehon suhde loistehoon; täysin resistiivisellä kuormalla tehokerroin on $1$, muutoin pienempi.
Kuvassa on sinimuotoinen jännite ja virta piirrettynä vaihe-erolla $\phi_0 = \pi/4$.
Vihreä tehokäyrä, eli jännitteen ja virran tulo on välillä negatiivinen. Se palauttaa tehoa järjestelmään. Siksi loisteho “heilahtelee” edestakaisin.
$|P| = |S| \cos\phi_0$.
Eri tehokomponenteille pätee vastaa Pythagoraan yhtälö kuin reaktansseille, eli
$S^2 = P^2 + Q^2 $.
J a t k u u . Tai sitten ei.
