Kiihtyvyys ja paikka

import sympy as sym
from sympy import pprint
A,B,k,t = sym.symbols('A B k t')
v = A*B*(1-sym.exp(-k*t))/(A+B*sym.exp(-k*t))
a = sym.factor( sym.simplify( sym.diff(v,t)) )

$a(t) = \frac{A B k \left(A + B\right) e^{k t}}{\left(A e^{k t} + B\right)^{2}}$

Paikkaa varten integroidaan nollasta $t$:hen.

s = sym.integrate( v, (t, 0, t))
sym.collect( sym.expand( s ), (A/k, B/k) )

$\frac{A \left(- \log{\left (\frac{A}{B} + 1 \right )} + \log{\left (\frac{A}{B} + e^{- k t} \right )}\right)}k + B t + \frac{B \left(- \log{\left (\frac{A}{B} + 1 \right )} + \log{\left (\frac{A}{B} + e^{- k t} \right )}\right)}k$

Huijauksen makua, mutta lasketaan logaritmien laskusäännöt käsin.

sym.together( ( A/B + sym.exp(-k*t) )/( A/B + 1) )

Saadaan siis
$- \log{\left (\frac{A}{B} + 1 \right )} + \log{\left (\frac{A}{B} + e^{- k t} \right )} = \log \frac{\left(A e^{k t} + B\right) e^{- k t}}{A + B} $
Vakio $Bt$ on muutettu muotoon $Bt = \frac Bk kt = B \log e^{kt}$ ja sillä on kerrottu viimeinen. Siis tulee paperissa mainitut muodot.
Ovelasti vaan suurilla $t$ esiin tulevan lineaarissen käyttäytymisen kirjoittajat ovat piilottaneet.