Tikkaat nojaavat lähes kitkattomasti pystysuoraan seinään siten, että niiden kaltevuuskulma on $55^\circ$. Tikkaiden massa on $28$ kg ja pituus $4.80$ m. Tikkaiden painopiste sijaitsee $2.00$ m:n etäisyydellä alapäästä. Kuinka suuri pitää tikkaiden ja lattian välisen kitkakertoimen olla, jotta $65$ kg:n painoinen henkilö voi seiso $1.20$ metrin etäisyydellä tikkaiden yläpäästä ($3$. puola) ilman, että tikkaat alkavat liukua?
Ratkaisu. Tehtävän lukemisen jälkeen piirrä kuva ja merkitse siihen tunnetut suureet.
Nyt kannattanee lukea tehtävänanto vielä kertaalleen, tai ainakin miettiä sitä. Kyseessä on tasapainotilanne, joten kirjoitetaan tasapainoyhtälöt. Ensin huomataan, että Newtonin II mukaiset vastavoimat puuttuvat, joten lisätään ne ensin kuvaan. Sitten kuvasta kirjoitetaan NII-yhtälö tasapainotilanteeseen.
Newtonin toisen mukainen yhtälö on $\sum \vec F = \vec 0 $ ja kirjoitetaan se skaalaarina $x$- ja $y$-suuntiin heti. Sitä varten tarvittaisiin vielä merkkisopimus. Otetaan se standardi. Siis
$x$-suuntaan: $N_x – F_x = 0$
$y$-suuntaan: $F_y + N_y – G – G_t = 0$
Tehtävässä annettiin vihjeeksi, että “kitkattomasti pystysuoran seinään”, eli $F_y \approx 0$. Saadaan siis yhtälö
$y$-suuntaan: $N_y – G – G_t = 0$
Joka tapauksessa, meillä on kolme tuntematonta, $N_x$, $F_x$ ja $N_y$. yhtälöpari ei siis ratkea. Sitä varten tutkitaan tasapainoehtoa pyörimisen suhteen, eli momenttien summan pitää olla nolla eli $\sum \vec M = \vec 0$. Taas pitää tutkia kuvaa. Tarvitaan kaksi asiaa
- Kiertoakseli
- Kohtisuora voimat
Merkitään ne kuvaan. Kiertoakseli saadaan valita ihan miten halutaan joten kannattaa ottaa sellainen, mikä helpottaisi eniten laskuja. Yläpäästä saadaan $N_x$:n aiheuttama momentti nollaksi ja alapäästä sekä $F_x$:n että $N_y$:n momentit katoamaan. Kuitenkin, koska ollaan kiinnostuneita juuri $F_x$:stä ja $N_y$:stä, pistetään kiertoakseli ylös. Kuva:
Momenttiehto yläkulman suhteen.
$-rG_\perp – r_t G_{t\perp} – \ell F_{x\perp} + \ell N_{y\perp} = 0$
Tarvitaan trigonometriaa, jotta saadaan kohtisuorat voimat; sinin ja kosinin määritelmistä saadaan
$\cos 55^\circ = \frac{G_\perp}{G} \Rightarrow G_\perp = G \cos 55^\circ $
$G_{t\perp} = G_t \cos 55^\circ $
$N_{y\perp} = N_y \cos 55^\circ $
$F_{x\perp} = F_x \sin 55^\circ $. Huomaa tuo! Miksi?
Sijoitetaan nuo momenttiyhtälöön ja saadaan
$-rG\cos55^\circ- r_t G_t\cos55^\circ – \ell (F_x\sin55^\circ + N_y\cos55^\circ) = 0$
Kirjoitetaan nyt vielä nuo kolme yhtälöä näkyviin ja katsotaan niistä, mitä kannattaa ratkaista:
$N_x – F_x = 0$
$N_y – G – G_t = 0 \Rightarrow N_y = G + G_t$
$-rG\cos55^\circ- r_t G_t\cos55^\circ – \ell F_x\sin55^\circ + \ell N_y\cos55^\circ = 0$.
Sijoitetaan $N_y$:n lauseke alimmaiseen ja saadaan
$(-rG- r_t G_t)\cos55^\circ – \ell F_x\sin55^\circ + \ell (G+G_t)\cos55^\circ = 0$
josta
$ \ell F_x\sin55^\circ = (-rG- r_t G_t)\cos55^\circ + \ell (G+G_t)\cos55^\circ $
$= (-rG – r_tG_t + \ell G + \ell G_t)\cos55^\circ$
$= \left((\ell-r)G + (\ell-r_t)G_t\right) \cos55^\circ$
eli
$F_x = \frac{\left((\ell-r)G + (\ell-r_t)G_t\right) \cos55^\circ}{\ell \sin55^\circ}$
$= \frac{\left((4.80-1.2)65 + (4.80-2.80)28\right)}{4.80 \tan55^\circ}9.81$ N
$= \frac{\left(3.6\cdot65 + 2\cdot28\right)}{4.80 \tan55^\circ}9.81$ N $=415.00$ N.
Selvästi kitkakerroin saadaan voimasta $F_x$, koska $F_x = \mu N_y$. Sitten enää tarvitaan $N_y$. Sen olisi voinut laskea jo aiemmin,sillä
$N_y = G + G_t = (65 + 28)9.81$ N $=912.33$ N.
Joten kitkakertoimeksi saadaan
$\mu = \frac{F_x}{N_y} = \frac{415.00}{912.33} = 0.45$.
Helppoahan tämä on. Ja kivaa varsinkin.
