Otetaan hämähäkki, joka kiertää kevyttä ympyräistä satelliittia nopeudella $1$. Olkoon satelliitin säde $1$. Hetken $t$ kuluttua hämyri on kulkenut matkan $t$, eli $t$ radiaania satelliitin keskustasta kulmana mitattuna. Hämähäkin paikka on tutut

$x = \cos(t)$,

$y = \sin(t)$.

Kuvassa tarkemmin:

Kuinka nopeasti hämähäkki kulkee ylöspäin? Hämähäkin korkeus hetkellä $t$ on $y=\sin(t)$, joten sen ylöspäin oleva nopeus on

$y’ = \sin'(t)$.

Nyt tulee liukasta ja kitka katoaa, jolloin hämis menettää otteensa satelliitista. Mitä tapahtuu? Gravitaatio on olematon, joten hämppy jatkaa samalla nopeudella (vauhdilla, oikeesti) ja samalla suunnalla. Se painaa matkan $1$ ajassa $\Delta t=1$, eli pisteestä $S$ pisteeseen $B$. Tsekkaa kuvasta.

Häijyn korkeus muuttuu nyt arvon $\Delta y = SC$ verran. Siis sen yläspäin oleva nopeus on

$y’ = \frac{\Delta y}{\Delta t}=SC$.

Nyt paha: kolmiot $OAS$ ja $SCB$ ovat yhteneviä (sama kolmio Inkscapessa), niin

$SC = OA = x = \cos(t)$.

Siis

$\sin'(t) = \cos(t)$.

Samalla tavoin ilkimykisen vaakasuoralle nopeudelle. Sen paikka on $x=\cos(t)$ yksikköä oikealle satelliitin keskustasta, ja sen horisontaalinen nopeus on

$x’ = \cos'(t) = \frac{\Delta x}{\Delta y} = -BC = -SA = -\sin(t)$.

Miinusmerkki ilmestyy,. koska hämppä kulkee vasemmalle, kun se on $x$-akselin yläpuolella. Siis $\Delta x / \Delta t < 0$ aina kun $y = \sin(t) > 0$. Jännää!

Tämä demonstroi välille $0<t\leq \pi/2$, mutta samalla tavalla saadaan kaikille ympyrän neljänsiksille. Siis

$\sin'(t) = \cos(t)$ ja

$\cos'(t) = -\sin(t)$.