Derivaatta irtoaa erotusosamäärällä, kunhan muistaa Eulerin vakion raja-arvomääritelmän. Se esitys on kuitenkin standardikamaa.

Logaritmin derivaatta käyttäen hyväksi ainoastaan derivaatan ja logaritmin ominaisuuksia.

1. Summan derivaatta ja derivaattojen summa: $\D ( f(x) + g(x) ) = \D f(x) + \D g(x)$.
2. Yhdistetyn funktion derivaatta: $\D f(g(x)) = \D f(g(x)) \D g(x) \equiv f'(g(x)) g'(x)$.
3. Tulon derivaatta: $\D fg = f\D g + g \D f$.
4. Tulon logaritmi on logaritmien summa: $\log (xy) = \log x + \log y$.

Derivoidaan 3. ominaisuus puolittain:

$\D \log (xy) = \D \log x + \D \log y$,

derivaatan lineaarisuuden (kohta 1.) nojalla. Tutkitaan yhtälön vasenta puolta. Hämäyksen vuoksi, merkitään $z=xy$. Lukiossa ei ole paljon muuttujanvaihdoksia, mutta niitä tulee varsinkin integroitaessa (10. kurssi) ja 13. kurssilla. Lasketaan, mitä on $z$:n logaritmin derivaatta yhdistetyn funktion derivointilauseen (kohta 2.) avulla:

$\D \log z = \D_z \log z \D z$.

Merkinnät ovat mielenkiintoisia. Pelkkä $\D \equiv \tfrac{\doo }{\doo x}$ eli derivaatta $x$:n suhteen, ja $\D_z \equiv \tfrac{\doo }{\doo z}$ derivaatta $z$:n suhteen. Lukiokursseissa puhutaan melkein pelkästään $\D$:stä, mutta se on vähän hankala, varsinkin näissä monimutkaisimmissa tapauksissa. Jatketan edellisestä:

$\D \log z = \D_z \log z \D z $.

Derivoidaan äkkiä tuo viimeinen termi, eli $\D z = \D (xy) = x \D y + y \D x = x \D y + y$, tulon derivaatan perusteella. Sijoitetaan äskeinen tuohon ylempään (edelliseen), jolloin

$\D \log z = \D_z \log z \cdot ( x \D y + y)$

Vastaavasti kuin $z$:lle tehdään $y$:lle ensimmäisen yhtälön viimeiseen termiin:

$\D \log y = \D_y \log y \D y$.

Nyt yhdistetään yhdistetään kaikki. Päällimmäisenä lukee alkuperäinen, sitten sijoitukset. Ole tarkkana:

$\D \log (xy) = \D \log x + \D \log y$,

$\D_z \log z \cdot ( x \D y + y) = \D \log x + \D_y \log y \D y$.

Huh. melkein lopussa. Nyt rupeaa näyttämään jo siltä, että tästä voisi saada jotain irti. Jotta näkyvyys hieman paranisi, merkitään funktiolla $f(x)$ logaritmifunktion derivaattaa, eli olkoon $f(x) = \log x$. Edellisestä yhtälöstä tulee

$f(z) \cdot ( x \D y + y) = f(x) + f(y) \D y$.

Hetken aikaa saa pöly laskeutua, ja otetaan termit, joissa on derivaatta erilleen. Saadaan kaksi yhtälöä

$f(z) x = f(y)$ ja

$f(z) y = f(x)$.

Hei, johan näyttää erikoiselta. Laitetaan $z=xy$ takaisin paikalleen, ja saadaan erikoinen yhtälö

$f(xy) x = f(y)$ ja

$f(xy) y = f(x)$.

Mikähän on tuollainen funktio $f(xy)$, joka kerrottuna $x$:llä tai $y$:llä antaa $f(y)$:n tai $f(x)$:n. Hei, eräs tuollainen funktioperhe on

$f(x) = \frac kx$.

On helppo nähdä, että tuo funktioperhe toteuttaa em ehdot. Siis logaritmifunktion derivaatta $\D \log x = \frac kx$, jossa $k$ on jokin vakio. Tullaan huomaamaan (ei vielä, se puuttuu tästä), että jos $\log x = \ln x$, niin $k=1$, ja saadaan

$\D \ln x = \frac 1x$.

Huh! Melkein yhtä lyhyt kuin erotusosamäärällä.

 

Toinen, vähän lyhyempi versio. Tämä on vähän epävarmempi, ei yhtä nätti, mutta varsin lyhyt.

Derivoidaan 3. ominaisuus puolittain:

$\D \log (xy) = \D \log x + \D \log y = \D \log x$,

derivaatan lineaarisuuden (kohta 1.) nojalla ja olettaen, että $y$ on vakio. Tutkitaan yhtälön vasenta puolta. Hämäyksen vuoksi, merkitään $z=xy$. Lukiossa ei ole paljon muuttujanvaihdoksia, mutta niitä tulee integroitaessa (10. kurssi) ja 13. kurssilla. Lasketaan, mitä on $z$:n logaritmin derivaatta yhdistetyn funktion derivointilauseen (kohta 2.) avulla:

$\D \log z = \D_z \log z \D z$.

Merkinnät ovat mielenkiintoisia. Pelkkä $\D \equiv \tfrac{\doo }{\doo x}$ eli derivaatta $x$:n suhteen, ja $\D_z \equiv \tfrac{\doo }{\doo z}$ derivaatta $z$:n suhteen. Lukiokursseissa puhutaan melkein pelkästään $\D$:stä, mutta se on vähän hankala, varsinkin näissä monimutkaisimmissa tapauksissa. Jatketan edellisestä:

$\D \log z = \D_z \log z \D z = y \D_z \log z$.

Siis

$\D \log (xy) = y \D \log (xy)$.

Olkoon $x=1$, jolloin

$\D \log y = \frac{\D \log 1}{y}$.

Erityisesti, jostain huomataan (mistä?), että $\D \log1 = 1$.